QUESTION #2

Na czym polega aproksymacja przemieszczeń?

W rzeczywistej konstrukcji przemieszczenia zmieniają się w sposób ciągły w całej objętości elementu. W metodzie MES nie wyznacza się dokładnej funkcji przemieszczeń $u(x)$, lecz zastępuje się ją funkcją przybliżoną, zdefiniowaną osobno w każdym elemencie skończonym.

Istotą aproksymacji w MES jest założenie, że:

• przemieszczenia są dokładnie znane tylko w węzłach,

• wewnątrz elementu są one interpolowane za pomocą odpowiednich funkcji.

Ogólna postać aproksymacji

Aproksymację przemieszczeń w elemencie zapisuje się w postaci:

u(x) ≈ Σᵢ₌₁ⁿ Nᵢ(x) · uᵢ

gdzie:

• u(x) – przemieszczenie w dowolnym punkcie elementu,

• Nᵢ(x) – funkcje kształtu,

• uᵢ – przemieszczenia w węzłach elementu,

• n – liczba stopni swobody elementu.

Oznacza to, że przemieszczenie w każdym punkcie elementu jest kombinacją przemieszczeń węzłowych oraz funkcji kształtu.

Funkcje kształtu – klucz do aproksymacji

Funkcje kształtu opisują, w jaki sposób przemieszczenia w węzłach wpływają na przemieszczenia wewnątrz elementu. Ich postać zależy od:

• rodzaju elementu (prętowy, płytowy, bryłowy),

• liczby węzłów,

• rzędu aproksymacji.

W praktyce oznacza to, że w elementach:

• prostych – przemieszczenia mogą zmieniać się liniowo,

• bardziej zaawansowanych – kwadratowo lub wyższego rzędu.

Aproksymacja w praktyce obliczeniowej

W rzeczywistych obliczeniach MES:

• cała konstrukcja jest dzielona na elementy skończone,

• w każdym elemencie przemieszczenia są aproksymowane niezależnie,

• ciągłość przemieszczeń jest zachowana w węzłach elementów.

Dzięki temu możliwe jest zapisanie równań równowagi całej konstrukcji w postaci macierzowej.

Od czego zależy dokładność aproksymacji?

Dokładność wyników uzyskanych metodą MES zależy głównie od:

• rodzaju funkcji kształtu,

• wielkości elementów (gęstości siatki MES),

• dopasowania typu elementu do rzeczywistej pracy konstrukcji.

Im mniejsze elementy i wyższy rząd funkcji kształtu, tym lepsze przybliżenie rzeczywistych przemieszczeń – kosztem większej liczby obliczeń.

Podsumowanie

Aproksymacja przemieszczeń jest fundamentem metody elementów skończonych. To dzięki niej skomplikowane, ciągłe zachowanie konstrukcji można opisać w postaci modelu matematycznego, który:

• jest możliwy do obliczenia numerycznego,

• pozwala wyznaczyć przemieszczenia, siły wewnętrzne i naprężenia,

• stanowi podstawę nowoczesnych obliczeń inżynierskich.